Στο διπλνό σχήμα το ΑΒΓΔΕ είναι πεντάγωνο. Έστω το Η ένα εσωτερικό του σημείο από το οποίο φέρουμε ίσα κάθετα ευθύγραμμα τμήματα μήκους 6 εκ προς τις πλευρές του.

α) Να δείξετε ότι 6∙ΑΒ+ 6∙ΒΓ+6∙ΓΔ+6∙ΔΕ+6∙ΕΑ = 2∙Ε = 6∙Π όπου Ε το εμβαδόν του και Π η περίμετρος του πενταγώνου ΑΒΓΔΕ.

β) Να δείξετε ότι η ΑΗ είναι διχοτόμος της γωνίας ΒΑΕ και η ΒΗ διχοτόμος της ΑΒΓ.

γ) Αν ΑΙ = ΛΒ=  εκ.  να υπολογίσετε τη γωνία Β και την πλευρά ΑΒ.

α) Το 6∙ΑΒ εκφράζει το διπλάσιο του εμβαδού του ΑΒΓ και όμοια τα υπόλοιπα.

β) Τα ΑΙΗ και ΑΗΚ είναι ίσα (αλλιώς: ΑΗ διχοτόμος γιατί το Η ισαπέχει).όμοια η άλλη.

γ) Τα ΑΙΗ και ΒΗΛ είναι ίσα (ορθογώνια, ΗΙ=ΗΛ, ΑΙ=ΛΒ) άρα Α/2 = Β/2 Στο ΑΙΗ εφΑ/2 = ΙΗ/ΑΙ =  άρα Α=120⁰ οπότε Β=120 και ΑΙ =ΑΒ/2 οπότε ΑΒ = 2ΑΙ